Mettez 1,5 l d'eau à bouillir.
Parez le poireau et la carotte, lavez-les, émincez-les.
Écaillez et videz le poisson, prélevez les filets et mettez-les de côté.
Écrasez grossièrement la tête et l'arête puis faites-les revenir dans une cocotte avec 2 cuil. à soupe d'huile d'olive; ajoutez les légumes, le laurier, le thym et 1 gousse d'ail écrasée avec le plat du couteau; mouillez avec l'eau bouillante, salez, poivrez, couvrez et laissez cuire 45 mn à petits bouillons.
Pelez les gousses d'ail et les oignons, retirez les germes de l'ail.
Faites une mayonnaise avec le jaune d'oeuf, du sel, du poivre, écrasez 1 gousse d'ail au presse ail, au dessus du bol et montez-la sauce avec 20 cl d'huile d'olive.
Mondez les tomates et pelez-les; épépinez-les et coupez leur chair en petits morceaux. Réservez la valeur d'1 tomate et ajoutez-la à la mayonnaise. Placez le bol au frais.
Dans une cocotte, faites chauffer le reste d'huile d'olive et faites-y revenir l'ail restant et les oignons hachés; ajoutez les dés de tomates; mouillez avec le fumet de poisson filtré au travers d'un chinois. Faites cuire 30 mn à petit feu.
Rincez les filets de rascasse, épongez-les et détaillez-les en lanières.
Mixez la soupe et remettez-la sur le feu; faites-y pocher les lanières de rascasse 5 mn.
Versez dans une soupière chaude et servez sans attendre avec les croûtons et la mayonnaise à la tomate. Décorez de pluches de persil ciselées.
Part 4